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Bonjour,
Je suis coincé sur mon Dm de maths, une « narration de recherche ». Après avoir fait quelques conjectures, je ne trouve pas de quoi les prouver. Le but de cet exercice n’est pas de trouver la réponse, mais de trouver des démarches pertinentes et de bien les expliquer afin de résoudre le problème...

Enoncé :
Pour la commercialisation de boîtes de mais de 250 cm^3, les entreprises ont cherché à minimiser les coûts
de fabrication. Autrement dit, ils ont déterminé les dimensions pour minimiser l'aire de la surface pour
fabriquer une boite de 250 cm^3. (Le choix du métal et son épaisseur ayant déjà été choisis)
Chaque boîte de maïs est un cylindre de révolution.
Quelles sont les dimensions d'une boîte de maïs qui réalisent l'objectif de minimiser le coût de fabrication ?

Ayant un médiocre niveau de maths, je ne sais plus comment avancer... Si vous pouviez me guider, je vous en serais très reconnaissante. Merci d’avance

Sagot :

Réponse :

Bonjour  le volume d'une boîte de conserve cylindrique  dépend de son  rayon r et de sa hauteur h

V=pi*r²*h     et on sait que  pi*r²*h=250 (équation1)

la surface de métal pour la fafriquer est composée de :

deux disques  d'aire 2*pi*r² et de la bande latérale d'aire 2pi*r*h

Aire totale =2pi*r²+2pi*r*h  (équation2)

Explications étape par étape

Résolvons ce problème  pour que l'aire de métal nécessaire soit minimale.

De l'équation 1 on tire  h=250/pi*r²

on reporte cette valeur  de h dans l'équation 2 pour obtenir la fonction:

A(r)=2pi*r²+500/r

Il reste à étudier cette fonction pour r >0

Dérivée: A'(r)=4pi*r -500/r² ou (4pi*r³-500)/r²

A'(r)=0 si 4pi*r³=500   d'où r=rac cubique de 500/4pi=3,41 cm

Tableau de signes de A'(r) et de variations de A(r)

r   0                               3,41                            +oo

A'(r)......-.........................  ...0..........+........................

A(r)II .....décroi.........A(3,41)........croi.............

Le rayon optimal est de 3,41 cm pour une hauteur de 250(/pi*3,41²)=6,84cm.