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Sagot :
f'(x) vaut x^2-2x-3 =(x-1)^2-4 et s'annule en x1=3 et x2=-1 vaut donc (x+1)(x-3)
f' >0 de -inf à -1 <0 entre -1 et 3 et >0 sur 3 +infini
f croit de infini à f(-1)=32/9 puis décroit jusqu'à f(3)=-8 et croit de cette valeur à l'infini
(elle s'annule donc 3 fois sur R)
La dérivée de f(x)
f'(x)=x²-2x-3 =(x+1)(x-3).
Cette dérivée s'annule en x=-1 et x=3
La fonction est définie sur [-2;2], donc on ne prend pas en compte la racine 3
D'après le cours sur les polynomes du second degré, le polynome x²-2x-3 sera positif à l'extérieur des racines.
Donc
si -2 <= x <= -1 , f'(x) >= 0 , donc f croissante sur [-2,-1]
si -1 <= x <= 2 , f'(x) <= 0, donc f décroissante sur [-1,2]
f(-2)=-8/3-4+6+1=-8/3+3=1/3
f(-1)=-1/3-1+3+1=8/3
f(2)=8/3-4-6+1=-19/3
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, f(-2) > 0 et f(-1) > 0 et f croissante sur [-2,-1], donc f(x) > 0 sur cet intervalle.
D'après le corollaire des valeurs intermediaires, f(-1) > 0 et f(2) < 0 et f décroissante sur [-1,2], donc il existe une seule valeur a comprise en -1 et 2 telle que f(a)=0
0,3 < a < 0,31 ( avec la calculette )
Donc
si -2 <= x <= a , f(x) >= 0
si a <= x <= 2 , f(x) <= 0
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