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Bonjour, j'espère que vous allez tous très bien et que vous passez une bonne journée.

Je suis en seconde et je suis totalement bloquée sur mon dm de maths qui est pour la fin de la semaine, s'il vous plaît aidez moi...


Sujet:


ABC est un triangle.

I est le milieu de [AC], J est celui de [BI] et K est le point défini par

BK*= 1/3 BC*


1) Construire une figure.

2) Démontrer que AJ*=1/2 AB*+1/4AC*

3) Démontrer que AK*=2/3 AB*+1/3AC*

4) Démontrer que A, J et K sont alignés.


*=la flèche pour dire que c'est un vecteur


Merci d'avance, bonne journée.

Sagot :

Réponse :

1) construire une figure

                                      A

                                     / \  

                                   /  J   \I

                             B /...K........\C

2) démontrer que vec(AJ) = 1/2)vec(AB) + 1/4)vec(AC)

d'après la relation de Chasles on a; vec(AJ) = vec(AB) + vec(BJ)

or  vec(BJ) = 1/2)vec(BI)

et  vec(BI) = vec(BA) + vec(AI)   relation de Chasles

on a; vec(AI) = 1/2)vec(AC)

donc vec(AJ) = vec(AB) + 1/2)(vec(BA) + 1/2)vec(AC))

                      = vec(AB) + 1/2)(- vec(AB) + 1/2)vec(AC))

                      = vec(AB) - 1/2)vec(AB) + 1/4)vec(AC)

                      = 1/2)vec(AB) + 1/4)vec(AC)

3) démontrer que vec(AK) = 2/3)vec(AB) + 1/3)vec(AC)

d'après la relation de Chasles on a; vec(AK) = vec(AB) + vec(BK)

or vec(BK) = 1/3)vec(BC)  et  vec(BC) = vec(BA) + vec(AC) relation de Chasles

donc  vec(AK) = vec(AB) + 1/3)vec(BC)

                       = vec(AB) + 1/3)(vec(BA) + vec(AC))

                       = vec(AB) + 1/3)(- vec(AB) + vec(AC))

                       = vec(AB) - 1/3)vec(AB) + 1/3)vec(AC)

                       = 2/3)vec(AB) + 1/3)vec(AC)

4) démontrer que A; J et K sont alignés

il suffit de montrer que les vecteurs AK et AJ sont colinéaires

vec(AK) = 2/3)vec(AB) + 1/3)vec(AC)

vec(AJ) = 1/2)vec(AB) + 1/4)vec(AC)

or vec(AK) = 4/6)vec(AB) + 4/12)vec(AC)

                  = 4/3)(1/2vec(AB) + 1/4)vec(AC))

donc vec(AK) = 4/3)vec(AJ) ; donc   les vecteurs AK et AJ sont colinéaires

on en déduit que les points A, J et K sont alignés      

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