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Merci de m’aider à résoudre ce problème :
Une population de bactéries peut être modélisée en fonction du temps, en s, par la fonction P : t → P(t) telle que :
- P est solution sur R de l’équation différentielle ( E ) : P’ – 0,01P = 0,2 ;
- A l’instant t = 0, la population compte 200 bactéries.
a) Déterminer l’expression de la fonction P
b) Déterminer l’instant t, en s, à partir duquel la population dépasse 50 000 bactéries.
Arrondir à l’unité.
Exprimer la réponse en minutes et secondes.

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

a) Pour résoudre cette équation différentielle, nous commençons par résoudre l'équation homogène à savoir P'-0,01P=0

Nous savons du cours que les solutions sont de la forme

[tex]ke^{0,01 \cdot x}[/tex]

avec k un réel quelconque

Pour trouver une solution particulière l'équation P'-0,01P=0,2 Nous allons chercher des fonctions P telles que

[tex]P(x)=k(x)e^{0,01 \cdot x} \\\\P'(x)=k'(x)e^{0,01 \cdot x}+0,01k(x)e^{0,01 \cdot x}\\ \\P'(x)-0,01P(x)=k'(x)e^{0,01 \cdot x}=0,2\\\\k'(x)=0,2e^{-0,01 \cdot x}\\\\k(x)=-200e^{-0,01 \cdot x}+c \\[/tex]

Et donc les solutions sont

[tex]P(x)=-200+ce^{0,01 \cdot x}[/tex]

Et comme P(0)=200 cela donne

[tex]\Large \boxed{\sf \bf P(x)=-200+400e^{0,01 \cdot x}}[/tex]

b)

Cherchons x tel que

[tex]P(x)=50000 \iff 400e^{0,01 \cdot x}=50200 \iff e^{0,01 \cdot x}=125,50\\\\x=100ln(125,5)=483,23... \rightarrow483\text{ arrondi a l unite}[/tex]

Ce qui fait environ 8 minutes et 3 secondes

Merci

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