Réponse :
Bonsoir,
Explications étape par étape
1)
Il semble que la suite soit décroissante et qu'elle converge vers 1.
2)
[tex]u_0=5\\u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{u_n+2} \\\\Initialisation:\ u_0 > 1\\\\H\' er\' edit\' e:\\\\u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{u_n+2} =\dfrac{4u_n+8-9}{u_n+2} =4-\dfrac{9}{u_n+2} \\u_n >1\\\\u_n+2 > 3\\\\\dfrac{1}{u_n+2} < \dfrac{1}{3} \\\\\dfrac{-9}{u_n+2} > \dfrac{-9}{3} \\\\4-\dfrac{-9}{u_n+2} > 4-3 \\\\u_{n+1} > 1\\[/tex]
3)
[tex]u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n-1}{u_n+2} -u_n=\dfrac{-u_n^2+2u_n-1}{u_n+2} \\\\u_{n+1}-u_n=-\dfrac{(u_n-1)^2}{u_n+2}\\\\(u_n-1)^2 > 0\\u_n+2 > 0\\\\u_{n+1}-u_n=-\dfrac{(u_n-1)^2}{u_n+2} < 0\\[/tex]
La suite est donc décroissante
4)
a)
[tex]v_n=\dfrac{1}{u_n-1} \\\\v_0=\dfrac{1}{u_0-1}=\dfrac{1}{5-1}=\dfrac{1}{4}\\[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}=\dfrac{u_n+2}{3u_n-3} \\\\=\dfrac{1}{3} (\dfrac{u_n-1}{u_n-1} +\dfrac{3}{u_n-1} )\\\\=\dfrac{1}{3} +v_n\\[/tex]
La suite v(n) est donc arithmétique de premier terme 1/4 et de raison 1/3
b)
[tex]v_n=\dfrac{1}{4} +\dfrac{n}{3} \\\\u_n=1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}+\dfrac{n}{3} } \\\\\\\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n =\lim_{n \to \infty} (1+\dfrac{12}{3-4n})=1[/tex]
