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Bonjour,
1) a)
[tex]f_n(0)=0 \rightarrow 0\\\\\forall x \in ]0;1[\ f_n(x)=nx^nln(x) \rightarrow 0\\\\f_n(1)=0 \rightarrow 0[/tex]
Donc (fn) converge simplement vers la fonction nulle sur [0;1]
b)
[tex]\forall x \in ]0;1[ \ g_n'(x)=-nx^{n-1}(1+nln(x))[/tex]
[tex]1+nln(x)=0 \iff nln(x)=-1 \iff x=e^{-1/n}[/tex]
[tex]g_n[/tex] est 0 en 0, croissante jusqu'en [tex]x=e^{-1/n}[/tex] puis décroissante et égale a 0 en x=1
le max de [tex]g_n[/tex] sur [0;1] est atteint en [tex]x=e^{-1/n}[/tex] et vaut
[tex]g_n(e^{-1/n})=-f_n(e^{-1/n})=-ne^{-1} \times (-\dfrac1{n})=e^{-1}[/tex]
c)
Donc
[tex]||g_n||_{\infty} = e^{-1}[/tex]
d) Elle ne converge pas uniformément car [tex]||g_n||_{\infty}[/tex] ne tend pas vers 0.
Exo 2
1)a)
[tex]|f_n(x)|\leq \dfrac1{n}\rightarrow 0[/tex]
il y a convergence simple vers la fonction nulle.
b) Comme nous avons l'inégalité précédente pour tout x réel,
[tex]||f_n||_{\infty} =\dfrac1{n} \rightarrow 0[/tex]
Donc nous avons convergence uniforme
c)
[tex]f_n'(x)=-\dfrac{n^2sin(n^2x)}{n}=-nsin(n^2x)[/tex]
pour x=0 cela vaut 0 et donc tend vers 0
pour
[tex]x=\dfrac{\pi}{2n^2}[/tex]
cela vaut -n et tend vers moins l infini
donc la suite des dérivées de converge pas.
Merci
