Trouvez des réponses fiables à toutes vos questions sur Zoofast.fr. Trouvez des réponses complètes et fiables à vos questions grâce à notre communauté d'experts toujours prête à vous aider avec des solutions détaillées.
Sagot :
Bonjour,
Supposons que [tex]\sqrt{3}[/tex] soit un nombre rationnel.
Il peut donc s'écrire sous la forme irréductible
[tex]\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}[/tex]
avec p et q entiers (q étant non nul) et p et q permiers entre eux.
En élevant au carré, nous avons donc
[tex]3q^2=p^2[/tex]
Donc 3 divise [tex]p^2[/tex], or
3 divise [tex]p^2=>[/tex] 3 divise p
En effet, démontrons la contraposée, si 3 ne divise pas p, p s'ecrit sous la forme 3n+1 ou 3n+2 et alors
[tex]p^2=(3n+1)^2=3(3n^2+2n)+1\\ \\ou \ p^2=(3n+2)=3(3n^2+12n+1)+1[/tex]
et donc 3 ne divise pas [tex]p^2[/tex]
De ce fait, comme 3 divise p, il existe p' tel que p=3p' et donc
[tex]3q^2=(3p')^2=9p'^2 \iff q^2=3p'^2[/tex]
Donc 3 divise [tex]q^2[/tex] et donc 3 divise q
Mais alors, 3 divise à la fois p et q, donc p et q ne sont pas premiers entre eux, nous aboutissons à une contradiction. Donc [tex]\sqrt{3}[/tex] est un nombre irrationnel.
Supposons que [tex]2+\sqrt{3}[/tex] soit un nombre rationnel, il existe p et q entiers (q non nul) tels que
[tex]2+\sqrt{3}=\dfrac{p}{q} \\\\\iff \sqrt{3}=\dfrac{p}{q}-2=\dfrac{p-2q}{q}[/tex]
C'est impossible car [tex]\sqrt{3}[/tex] n'est pas un nombre rationnel
donc [tex]2+\sqrt{3}[/tex] est un nombre irrationnel
De même, avec p et q entier (q non nul)
[tex]\dfrac{\sqrt{3}-2}{3}=\dfrac{p}{q} \iff \sqrt{3}=\dfrac{3p+2q}{q}[/tex]
contradiction
De même, avec p et q entiers non nuls
[tex]\dfrac1{\sqrt{3}-5}=\dfrac{p}{q} \iff \sqrt{3}-5=\dfrac{q}{p}\\\\\iff \sqrt{3}=\dfrac{q+5p}{p}[/tex]
Contradiction
Nous apprécions chaque contribution que vous faites. Revenez souvent pour poser de nouvelles questions et découvrir de nouvelles réponses. Ensemble, nous construisons une communauté de savoir. Merci de visiter Zoofast.fr. Nous sommes là pour vous aider avec des réponses claires et concises.