Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
J'espère qu'il n'est pas trop tard pour ma réponse que je n'ai pu terminer hier.
1)
U(1)=-(1/2)*1+3=5/2
U(2)=-(1/2)*5/2+3=-5/4+3=7/4
U(3)=-(1/2)(7/4)+3=-7/8+3=17/8
Suite arithmétique?
U(2)-U(1)=-3/4
U(3)-U(2)=3/8
Pas constant donc pas arithmétique.
Suite géométrique ?
U(2)/U(1)=14/20
U(3)/U(2)=17/14
Et : 17/14≠ 14/20 car 20 x 17 ≠ 14 x 14
2)
V(n+1)=U(n+1)-2
V(n+1)=-(1/2)U(n)+3-2
V(n+1)=-(1/2)U(n)+1 ==>On met -(1/2) en facteur.
V(n+1)=-(1/2)[U(n)-2]
Mais :
U(n)-2 = V(n)
Donc :
V(n+1)=-(1/2)V(n)
qui prouve que la suite (V(n)) est une suite géométrique de raison q=-1/2=-0.5 et de 1er terme V(0)=U(0)-2=1-2=-1.
3)
Je vais donc prendre q=-0.5 au lieu de -1/2 . Plus rapide à taper.
Donc :
V(n)=V(0)*q^n soit :
V(n)=-1*(-0.5)^n
V(n)=-(-0.5)^n
U(n)=V(n)+2 donc :
U(n)=-(-0.5)^n+2
4)
U(n+1)-U(n)=-(-05)^(n+1)+2-[-(-0.5)^n+2]
U(n+1)-U(n)=-(-0.5)^(n+1) + (-0.5)^n=-(-0.5)(-0.5)^n+(-0.5)^n
U(n+1)-U(n)=(0.5)(-0.5)^n+(-0.5)^n
On met (-0.5)^n en facteur :
U(n+1)-U(n)=(-0.5)^n(0.5+ 1)
U(n+1)-U(n)=(1.5)(-0.5)^n
Le facteur (-0.5)^n est positif si n est pair, négatif si n est impair.
Donc :
U(n+1) - U(n) > 0 et U(n+1) > U(n) si n est pair.
U(n+1) - U(n) < 0 et U(n+1) < U(n) si n est impair.
Ni croissante , ni décroissante.
5)
U(n)=-(-0.5)^n+2
lim (-0.5)^n=0 quand x tend vers + inf car -1 < -0.5 < 1.
Donc :
lim -(-0.5)^n+2=0+2=2 quand n tend vers +inf.
U(n) tend vers 2 quand n tend vers +inf.
