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Bonjour, j’ai besoin d’aide pour cet exercice s’il vous plaît :)

(n + 1)^3 = n^2(n+3) + 3n+ 1.

n est un entier naturel non nul. Déterminer, selon les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de (n + 1)^3 par n^2.

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

Comme nous avons

[tex](n+1)^3=n^2(n+3)+3n+1[/tex]

si jamais [tex]3n+1 \leqslant n^2[/tex]

Nous avons notre division euclidienne.

Etudions [tex]x^2-3x-1=0[/tex]

[tex]\Delta=9+4=15\\\\x=\dfrac{3\pm \sqrt{15}}{2}<\dfrac{3+\sqrt{16}}{2}=3,5[/tex]

Ainsi pour n entier supérieur ou égal à 4, nous avons

[tex]n^2-3n-1\geq 0 \iff 1+3n\leq n^2[/tex]

et donc le reste de la division euclidienne est 3n+1.

Maintenant, examinons les cas qui restent

n=3

[tex]4^3=64=9*7+1 \text{ **** le reste est } 1[/tex]

n=2

[tex]3^3=27=4*6+3\text{ **** le reste est } 3[/tex]

n=1

[tex]2^3=8=1*8\text{ **** le reste est } 0[/tex]

merci

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