Bjr,
1)f est définie pour x différent de 0.
Pour x>0 f est dérivable et
[tex]f(x)=\sqrt[3]{x}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\\\\f'(x)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}\\\\=\dfrac{1+\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^4}} > 0[/tex]
Donc f est strictement monotone sur [tex]]0;+\infty[[/tex] et f continue, c'est donc une bijection de
2)
pour x<0 il est trivial que
[tex]x-\sqrt{x^2+4}<0[/tex], car c'est la somme de deux nombres négatifs non nuls
Pour x>0
[tex]x^2<x^2+4\\\\<=>x<\sqrt{x^2+4}\\\\<=> x-\sqrt{x^2+4}<0[/tex]
Pour tout x réel
[tex]x=f(f^{-1}(x))=\sqrt[3]{f^{-1}(x)}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{f^{-1}(x)}}\\\\<=>\left( \sqrt[3]{f^{-1}(x)} \right)^2-(\sqrt[3]{f^{-1}(x)})x-1=0[/tex]
Ainsi cherchons des solutions de
[tex]X^2-xX-1=0\\\\\Delta=x^2+4\\\\X=\dfrac{x\pm\sqrt{x^2+4}}{2}[/tex]
or nour recherchons les solutions de cette équation dans I, donc strictement positive, en utilisant le résultat précédent, il vient donc
[tex]\sqrt[3]{f^{-1}(x)}=\dfrac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}<=>\\\\\Large \boxed{\sf \bf f^{-1}(x)=\left( \dfrac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^3}[/tex]
3)
On applique le résultat précédent car c'est
[tex]f^{-1}(\sqrt{5})[/tex], et donc
[tex]\Large \boxed{\sf \bf x= \left( \dfrac{\sqrt{5}+3}{2}\right)^3}[/tex]
Merci
