Réponse :
g(x) = e⁻ˣ(1 - x) + 1
a) étudier les variations de g puis dresser son tableau de variations
g(x) = e⁻ˣ - xe⁻ˣ + 1
g'(x) = - e⁻ˣ - (e⁻ˣ - xe⁻ˣ) = - e⁻ˣ - e⁻ˣ + xe⁻ˣ = - 2e⁻ˣ + xe⁻ˣ = e⁻ˣ(x - 2)
or e⁻ˣ > 0 quelle que soit la valeur de x, donc le signe de g'(x) dépend du signe de x - 2
x - ∞ 2 + ∞
g'(x) - 0 +
g'(x) ≥ 0 sur l'intervalle [2 ; + ∞[ et g'(x) ≤ 0 sur ]-∞ ; 2]
Tableau de variation de g
x - ∞ 2 + ∞
g(x) + ∞ →→→→→→→→→→→→(1 - 1/e) →→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
b) en déduire le signe de g(x)
puisque le minimum de g : 1 - 1/e > 0 donc g(x) > 0
c) calculer f'(x), comparer avec g(x)
f(x) = x(e⁻ˣ + 1)
f'(x) = (e⁻ˣ + 1) - xe⁻ˣ = e⁻ˣ + 1 - xe⁻ˣ = e⁻ˣ(1 - x) + 1
on a bien f'(x) = g(x)
d) dresser le tableau de variations de f
puisque g(x) > 0 donc f'(x) > 0 donc la fonction f est croissante sur R
x - ∞ + ∞
g(x) - ∞→→→→→→→→→→→→→→→→→→→ + ∞
croissante
Explications étape par étape