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Réponse :
si a et c sont de signes contraires ( un positif ET un négatif )
--> on a bien une racine positive et l' autre négative
--> les deux racines sont donc bien distinctes
Explications étape par étape :
■ ax² + bx + c = 0
divisons par a :
x² + (b/a)x + c/a = 0
■ on peut écrire cette équation autrement :
x² - Sx + P = 0
avec S = -b/a = x1 + x2 = Somme des 2 racines
P = c/a = x1 * x2 = Produit des 2 racines
■ vérif :
( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0 devient
x² - x*x2 - x1*x + x1*x2 = 0
x² - (x1+x2)x + x1*x2 = 0
x² - Sx + P = 0
■ si a et c sont de signes contraires ( un positif ET un négatif )
--> on a bien une racine positive et l' autre négative
--> les deux racines sont donc bien distinctes !
■ remarque sur le Discriminant Δ :
Δ = S² - 4P toujours positif
si a et c sont de signes contraires
donc si P est négatif
d' où les racines réelles distinctes :
x1 = 0,5 [ S - √(S²-4P) ]
x2 = 0,5 [ S + √(S²-4P) ]
on peut vérifier :
x1 + x2 = S
x1 * x2 = 0,25 [ S² - (S²-4P) ] = 0,25 * 4P = P
