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Réponse :
Explications étape par étape
Montrez que la suite Un définie pour tout réel n par Un=n3-2n2-3n est croissant pour
Un+1 =(n+1)3-2(n+1)2-3(n +1)
Un+1-Un = (n+1)3-2(n+1)2-3(n +1) - ( n3-2n2-3n )
= (n+1)² ( n+1 - 2) - 3(n+1) - n²( n-2) + 3n
=(n+1)²(n-1) - 3n-3 -n²(n-2) + 3n
= (n² + 2n+1)(n-1) - n²(n-2) - 3
=n²(n-1-n+2) + 2n( n-1) +n-1-3
= n² +2n² -2n +n-4
= 3n² -n -4
=3n² +3n - 4n -4
=3n(n+1) - 4(n+1)
=(n+1)(3n-4)
n+1 est toujours positif
3n-4 est positif pour n supérieur à 2.
donc la suite Un est croissante pour n supérieur à 2.
Montrer que la suite Vn définie pour tout réel n strictement positif par Vn=n2+ 10 divisé par 2n est croissant à partir du rang 3.
vn+1 = ( (n+1)² +10 ) / ( 2n+2)
vn+1 -vn = ( (n+1)² +10 ) / ( 2n+2) - (n²+10) / 2n
= -( (n+1)(n²+10) - n ( (n+1)² +10 ) ) /(2n+2)n
le dénominateur (2n+2)n étant positif , voyons le numérateur
( - (n+1)(n²+10) + n ( (n+1)² -10 ) ) = -(n+1)n² - 10(n+1) + n( (n+1)² +10n
= (n+1)( - n² -10 + n(n+1) ) + 10n
(n+1)( -10 +n) + 10n
=-10n +n² -10+n-10n
= n² +n -10
le numérateur est n²+n-10 si n plus grand que 3 alors n² +n plus grand que 9+3=12
n²+n-10 plus grand que 12-10 = 2
donc positif donc a suite Vn est croissant à partir du rang 3.
