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Bonjour,
1) [IJ] est l'hypoténuse du triangle OIJ rectangle en O.
⇒ IJ² = OI² + OJ² = 1² + 1² = 2
⇒ IJ = √2
2) M(xM,yM) appartient au au quart de cercle de centre O et de rayon 1
⇒ 0 ≤ xM ≤ 1 et 0 ≤ yM ≤ 1
3) idem : M appartient au cercle de O et de rayon 1
⇒ OM = 1
4) S(xS;yS) milieu de [OI]
⇒ xS = (xO + xI)/2 et yS = (yO + yI)/2
⇔ xS = (0 + 1)/2 = 1/2 et yS = (0 + 0)/2 = 0
Soit : S(1/2 ; 0)
5) a) M appartient à la médiatrice de [OI]
M, et H = S sont donc alignés sur la perpendiculaire à (OI) passant par S.
⇒ xM = xH = xS = 1/2
Soit : M(1/2;yM) et H(1/2;0)
b) MH² = OM² - OH² = 1² - (1/2)² = 3/4
⇒ MH = √(3)/2
⇒ yM - yH = √(3)/2
⇒ yM = √(3)/2 car yH = 0
⇒ M(1/2 ; √(3)/2)
c) L'angle HOM vaut 60°
d)
cos(60°) = cos(HOM) = adjacent/hypoténuse= OH/OM = (1/2)/1 = 1/2
sin(60°) = sin(HOM) = opposé/hypoténuse= MH/OM = (√(3)/2))/1 = √(3)/2
6) Je te laisse la rédaction, en t'inspirant de ce qui précède...
Cette fois on place M sur la médiatrice de OJ, donc la perpendiculaire à (OJ) passant par T milieu de [OJ]. Soit T(1/2 ; 0).
On en déduit : T est confondu avec L et M, T alignés
⇒ yM = yL = yT = 1/2
⇒ M(xM ; 1/2)
On calcule ML² = ....
On en déduit ML = √(3)/2
Puis xM = √(3)/2
donc M(√(3)/2 ; 1/2)
et pour finir :
cos(30°) = √(3)/2 et sin(30°) = 1/2
