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Bonjour,
1.
[tex]\forall n \in \mathbb{N} \\ \\u_{n+1}-u_n=u_n^2 \geq 0[/tex]
Donc la suite est croissante.
2.
a. f est dérivable sur IR et
f'(x)=2x+1
pour x <= -1/2 f est décroissante car f'(x) est négative
pour x >= -1/2 f est croissante car f'(x) est positive
b.
[tex]-1 < x< 0 <=>\\ \\0 < x+1 < 1 <=>\\ \\-1 < x(x+1) < 0<=>\\ \\-1 < f(x) < 0[/tex]
c.
Nous utilisons cela pour prouver que si la proposition est vraie au rang n alors elle est est vraie au n+1
[tex]-1 < u_n< 0 <=>\\ \\-1 < f(u_n)=u_{n+1} < 0[/tex]
et comme c'est vrai au rang n = 0 car j'imagine que
[tex]u_0=a[/tex]
Donc c'est vrai pour tout n entier
3.
La suite est majorée et croissante donc elle converge
et sa limit l vérifie
[tex]l=l^2+l <=> l^2=0<=>l=0[/tex]
