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bonjour j'ai un devoir a faire que je ne comprend pas pouvez vous m'aider svp

En 1202, le mathématicien italien Leonardo Pisano dit Fibonacci (1175 — vers 1250) propose dans son traité Liber Abaci le problème suivant : « Un homme met un couple de jeunes lapins dans un lieu isolé. Les lapins deviennent adultes au deuxième mois d'existence et chaque couple d'adultes donne naissance à un nouveau couple de lapins tous les mois. Combien de couples de lapins peut-on recenser chaque mois ? » Partie A : Observer, conjecturer 1°) A l'aide d'un arbre généalogique ou d'un tableau, vérifier que le nombre de couples de lapins présents au début de chacun des huit premiers mois est respectivement : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 et 21. 2°) a) Comment peut-on calculer un nombre de cette suite à partir des deux nombres qui le précèdent ? Vérifier, à l'aide de ce procédé, qu'au 12e mois, il y aura 144 couples de lapins. b) Cette suite de nombres est appelée « suite de Fibonacci ». Expliquer pourquoi le dessin ci-contre permet de représenter cette suite de nombres. 3°) Vérifier que la somme des six premiers nombres de cette suite est égale au quadruple du cinquième nombre. Partie B : Mobiliser ses connaissances On choisit deux nombres entiers. On appelle n le premier nombre et p le second. 1°) En utilisant le procédé décrit à la question 2a de la partie A, exprimer en fonction de n et p le troisième, le quatrième, ... le dixième nombre de la suite. Calculer la somme des six premiers nombres 2°) Montrer que cette somme est égale au quadruple du cinquième nombre de la suite. 3°) Exprimer en fonction de n et p la somme des dix premiers nombres de la suite. Que remarque-t-on ? Partie C : Sujet d’exposé 1°) Le théâtre d'Epidaure construit au début du IIIe siècle avant J.-C. et agrandi un siècle plus tard, comporte 55 rangées de gradins réparties en deux blocs respectivement de 34 et 21 rangées. Que représentent les trois nombres 21, 34 et 55 ? 2°) Chercher d'autres exemples dans lesquels interviennent les nombres de la suite de Fibonacci. 3°) Décrire brièvement la vie du mathématicien Fibonacci.

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

■ il faut disposer au départ d' 1 lapin et d' 1 lapine

   ( avec 2 lapins mâles, il est très difficile

                       d' avoir des lapereaux ! ☺ )

■ 1°) calendrier de production :

    mois --> jan   fév   mar   avr   mai   juin   juil   aoû  sep  oct  nov  déc

nb coupl ->  1       1       2       3      5       8     13     21    34    55   89   144

■ 2a) Nn+1 = Nn + Nn-1   ♥

■ 3°) somme des six premiers nb = 1+1+2+3+5+8 = 20 = 4x5

■ partie B :

   n ; p ; n+p ; n+2p ; 2n+3p ; 3n+5p ; 5n+8p ; 8n+13p ; 13n+21p ; 21n+34p

   somme des 6 = 8n+12p = 4x(2n+3p)

   som des 10 = 55n+88p = 11x(5n+8p )