Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
a)
On sait que :
GA+GB+GC=0 , qui donne :
GA+(GA+AB)+(GA+AC)=0 soit :
3GA+AB+AC=0
b)
Ce qui donne :
AB+AC=-3GA
AB+AC=3AG
AG=(1/3)(AB+AC)
OK ?
c)
Tu places A' milieu de [BC].
Tu prolonges [AA') en [AC'] de façon que AC'=AA' x 2.
vect (AB+AC)=vect AC'.
OK ?
G est au 1/3 de [AC'] en partant de A.
2)
a)
En vect :
A'B+A'C=0 (O=vect nul) car vect de même direction , de même mesure mais de sens inverse
AG=(1/3)(AB+AC)
Mais AB+AC=(AA'+A'B)+(AA'+A'C)=2AA'+A'B+A'C=2AA'+0 donc :
AG=(1/3)*2*AA'
AG=(2/3)AA'
(AA') est une médiane du triangle ABC.
b)
On part de :
GA+GB+GC=0 qui donne :
(GB+BA)+GB+(GB+BC)=0
3GB+BA+BC=0
BA+BC=-3GB
BA+BC=3BG
BG=(1/3)(BA+BC)
Mais :
BA+BC=(BB'+B'A)+(BB'+B'C)=2BB'+B'A+B'C
Mais B'A+B'C=0
donc :
BA+BC=2BB'
Donc :
BG=(1/3)*2*2BB'
BG=(2/3)BB'
qui prouve que (BG) est aussi une médiane du triangle ABC.
G est donc le centre de gravité du triangle ABC.
