Bonjour,
On va suivre l'énoncé et utiliser les sommes de Riemann.
La fonction qui à un réel quelconque lui associe son cube est une fonction continue et à ce titre elle est intégrable sur IR.
Donc, comme l intégrale est bien définie nous pouvons prendre x positif
En effet, si x est négatif on peut toujours revenir au cas où x est positif par permutation des bornes d'intégration.
Comme l 'intégrale est bien défnie nous savons aussi qu 'elle est la limite de suites de Riemann, du style
[tex]\displaystyle \int\limits^x_0 {t^3} \, dt =\lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n \, f(x_k^*)\delta(x_k)[/tex]
Donc on va découper le segment [0;x] en n segments et prendre les [tex]x_k^*[/tex] ou l'on veut dans ces sous-segment. On sait que dans tous les cas ça converge vers l'intégrale.
Prenons ce qui parait le plus naturel donc
[tex]\delta(x_k)=\dfrac{x}{n} \\\\x_k^*=k\delta(x_k)=\dfrac{kx}{n}[/tex]
Et alors, on a
[tex]\displaystyle \int\limits^x_0 {t^3} \, dt =\lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n \, f(x_k^*)\delta(x_k) \\\\=\lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n \, f(\dfrac{xk}{n})\dfrac{x}{n}\\\\ =\lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n \, \dfrac{x^3k^3}{n^3}\times \dfrac{x}{n}\\ \\ =\lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{x^4}{n^4} \sum_{k=0}^n \, k^3\\ \\=\lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{x^4}{n^4} \dfrac{(n(n+1))^2}{4}\\ \\=\lim_{n\rightarrow +\infty} x^4 \dfrac{(1+1/n)^2}{4}\\ \\=\dfrac{x^4}{4}[/tex]
Et voilà!
Et ça reste cohérent avec ce que l'on connait sur la dérivation, ouf!
