Réponse :
1) soit l’équation du cercle suivante:
x²+y² -2x -2y -18 =0
(x-1)² -1 +(y-1)² -1 -18 =0
(x-1)² + (y-1)² = 20
qui est l'équation du cercle C de centre Ω (1;1) de rayon 2√5 = 4.47 cm
2)
si xA = 3 et yA = 5
alors (x-1)² + (y-1)² = (3-1)² +(5-1)² = 2² +4² = 20, l'égalité est vérifiée
donc A(3;5) ∈ C
si xB = 5 et yB = -1
alors (5-1)² + (-1-1)² = 4² +(-2)² = 20 , l'égalité est vérifiée
donc B(5;-1) ∈ C
3) Tangente t au cercle en A
la droite (ΩA) et la tangente Ta sont perpendiculaires en A et obliques:
pour (ΩA) :y = m1x+b1
et pour Ta y= m2x+b2
Elles sont sécantes et forment un angle droit (perpendiculaires) si
m1 * m2 = -1
Trouvons la pente du segment AΩ.
m = (yA -yΩ) / (xA - xΩ) = (5-1)/(3-1) = 4/2 = 2
donc la pente de la tangente Ta est -1/2 (en utlisant m1 * m2 = -1)
donc y = -1/2x +b1
utilisons le point A(3;5) pour déterminer b1
5 = -3/2 + b1 <=> b1 = 5+3/2 =(10+3)/2 = 13/2
donc l’équation de Ta est y = -1/2x + 13/2
si x= 0 alors y= 13/2 point D (voir graphique)
on a la tangente Tb, perpendiculaire à BΩ en un point B:
avec 2x - y -11 =0 soit y = 2x -11
trouvons le point commun E entre Ta et Tb
on a alors -1/2x + 13/2 = 2x -11 <=> 2x + 1/2x = 13/2 +11
<=> (5/2)x = (13 +(2*11))/2
alors (5/2)x = (13 + 22)/2 <=> x = 35 /5
donc l'abscisse du point E est x= 7
et alors y = 2x -11 = 2*7 -11 =14 -11 = 3
donc l'ordonnée du Point E est y = 3
donc les coordonnées E(7;3).
4)
soit M(x ; y) un point du cercle Γ de diamètre [AB]
AMB est un triangle rectangle
les vecteurs (x - xA; y - yA) et (x - xB; y - yB) sont orthogonaux
(x - xA)(x - xB) + ( y - yA) ( y - yB) = 0
avec les valeurs de coordonnées de A et de B
on a alors (x-3)(x-5) + (y-5)(y-(-1)) = 0 <=> (x-3)(x-5) + (y-5)(y+1) = 0
x² -5x -3x +15 +y² +y -5y -5 =0
x² -8x +15 + y² -4y -5 =0
(x-4) ² -16 +15 +(y-2)²-4 -5 =0
(x-4)² +(y-2)² = 10 (on a alors une équation typique (x - a)² + (y - b)² = r²)
qui est l'équation du cercle de centre I de coordonnée (4 ; 2)
et de rayon √10 = 3.16
5) pour Ω (1;1)
comme l'égalité (x-4)² +(y-2)² = (1-4)² + (1-2)² = (-3)² +(-1)² =9+1 =10
alors Ω ∈ Γ.
pour E(7;3)
si l'égalité (x-4)² +(y-2)² = (7-4)² + (3-2)²= 3² +1² = 10
alors E ∈ Γ.
la nature du quadrilatère EAΩB
on sait que les points E,A, Ω, et B appartiennent à un même cercle Γ
donc le quadrilatère EAΩB est donc circonscrit au cercle Γ
AB étant le diamètre du cercle Γ alors les triangles circonscrits AEB et AΩB sont respectivement rectangle en E et en Ω,
alors [AE] ⊥ [EB] et AΩ ⊥ ΩB ainsi que ΩA = ΩB
d'une part on sait que ΩA ⊥ Ta, or E ∈ Ta donc ΩA ⊥ AE,
d'autre part on sait aussi ΩB⊥ Tb or E ∈ Tb donc ΩA ⊥ BE
on en conclut que les angles du quadrilatère sont égaux et rectangle.
ainsi que 2 cotés successif sont égaux (ΩA = ΩB)
Donc le quadrilatère EAΩB est un carré.
Malgré cela j'espère avoir pu t'aidé
