Réponse :
1) montrer que pour tout entier naturel n,
Un = n²/n³) x (1 + 3/n + 2/n²)/(1 + 5/n³)
Un = (n² + 3 n + 2)/(n³ + 5) définie pour tout n ∈ N
= (n²(1 + 3/n + 2/n²)/(n³(1 + 5/n³)
= n²((1 + 3/n + 2/n²)/n³(1 + 5/n³)
= (n²/n³) x (1 + 3/n + 2/n²)/(1 + 5/n³)
2) déduisez-en la limite de (Un), justifier la réponse
lim Un = lim (n² + 3 n + 2)/(n³ + 5) = lim (n²/n³) x (1 + 3/n + 2/n²)/(1 + 5/n³)
n→+∞ n→+∞ n→+∞
or lim 3/n = 0 lim 2/n² = 0 lim 5/n³ = 0 et lim n²/n³ = lim 1/n = 0
n→+∞ n→+∞ n→+ ∞ n→+ ∞ n→+∞
on obtient lim Un = 0 x 1 = 0
n→∞
Explications étape par étape