Réponse :
soit (Un) la suite définie à partir de n = 1 par Un = √(n+1) - √n
1) démontrer que pour tout n > 1 ; 1/2√(n+1) ≤ Un ≤ 1/2√n
Un = √(n+1) - √n
= (√(n+1) - √n)(√(n+1) + √n)/(√(n+1) + √n)
= (n+1 - n)/(√(n+1) + √n)
= 1/(√(n+1) + √n)
donc Un peut s'écrire aussi : Un = 1/(√(n+1) + √n)
puisque la suite (Un) est définie pour tout n ≥ 1 donc on peut écrire
n ≤ n + 1 ⇔ √n ≤ √(n+1) car la racine carrée est croissante sur ]0 ; + ∞[
on ajoute √n au deux membres donc √n + √n ≤ √(n+1) + √n
⇔ 2√n ≤ √(n+1) + √n ⇔ 1/2√n ≥ 1/(√(n+1) + √n)
or Un = 1/(√(n+1) + √n) donc Un ≤ 1/2√n
on fait le même raisonnement pour Un ≥ 1/2√(n+1)
n ≤ n+1 ⇔ √n ≤ √n+1 ⇔ √n + √(n+1) ≤ √(n+1) + √(n+1)
⇔ √n + √(n+1) ≤ 2√(n+1) ⇔ 1/(√n + √(n+1) ≥ 1/2√(n+1) ⇔ Un ≥ 1/2√(n+1)
finalement 1/2√(n+1) ≤ Un ≤ 1/2√n
2) en déduire la limite de Un, en justifiant
lim 1/2√(n+1) ≤ lim Un ≤ lim 1/2√n
n→+∞ n→+∞ n→+∞
Or lim 1/2√(n+1) = 0 et lim 1/2√n = 0 Donc lim Un = 0
n→+ ∞ n→+∞ n→+∞
Explications étape par étape
