Neroix
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Bonjour
Dans un lycée, les 36 délégués de classe doivent
élire un comité de trois élèves.
1. On suppose que les trois élèves ont le même rôle.
a) Combien y a-t-il de comités différents possibles ?
b) On sait de plus que, parmi les délégués, 20 sont des
filles et 16 sont des garçons.
Calculer le nombre de comités possibles dans lesquels
y a davantage de filles que de garçons.
2. On suppose que les trois élèves du comité peuvent
être président, adjoint, secrétaire.
Reprendre alors les questions a) et b) de 1.
Merci de l'aide​

Sagot :

Réponse :

Bjr,

Sur 36 personnes, avant de faire un "lot" de 3, on en prend une :

une parmi 36 donc 36 possibilités.

Ensuite une deuxième, une parmi 35.

Enfin une parmi 34.

Dans l'ORDRE, 36 x 35 x 34 "tiercés gagnants".

Maintenant il faut enlever l'ordre !!!

Si on a A, B et C dans le désordre, combien d'ordres possibles ?

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

En tout 6.

36 x 35 x 34 contient les ordres de tous les désordres possibles.

36 x 35 x 34 / 6 est le nombre que l'on cherche.

36 x 35 x 34 / 6 = 6 x 35 x 34 = 210 x 34 = 6800 + 340 = 7140

On peut aussi appliquer sans comprendre la formule avec les factorielles.

n! / (p! (n-p)!) = 36! / (3! (36-3)!) = 36 x 35 x 34 / (3 x 2)

On dénombre 7140 comités différents.

20 F filles et 16 G garçons

+ de F que de G :

3 F + 0 G ou 2 F + 1 G

3 F :

3 parmi 20

20 x 19 x 18 / (3 x 2) = 20 x 19 x 3 = 380 x 3 = 1140

2 F et 1 G :

2 parmi 20 pour les filles

20 x 19 / 2 = 190

un parmi 16 garçons :

16/1 = 16

16 x 190 = 3040

Je compte 3040 + 1140 = 4180 comités avec davantage de filles.

Maintenant il y a ORDRE. On recommence.

36 x 35 x 34 = (34 x 36) x 35 = (35 x 35 - 1) x 35 = 1224 x 35 = 70 x 612 = 42840

Il y a 42 840 comités possibles avec président, adjoint et secrétaire, soit 6 fois plus qu'au début de l'exercice où on avait divisé par 6.

Pour la dernière question, on va multiplier par 6 le résultat précédent de 4180 comités sans président, adjoint et secrétaire parce que pour chaque "lot" de 3 personnes, il y a exactement 6 ordres possibles.

6 x 4180 = 25080

ou si on veut détailler :

3 x 16 x 2 (20 x 19 / 2)  pour 2 F + 1 G

et

20 x 19 x 18 pour 3 F

3 x 16 x 2 (20 x 19 / 2) + 20 x 19 x 18 = 20 x 19 x 48 + 20 x 19 x 18

3 x 16 x 2 (20 x 19 / 2) + 20 x 19 x 18 = 20 x 19 x (48 + 18)

3 x 16 x 2 (20 x 19 / 2) + 20 x 19 x 18 = 20 x 19 x 66

3 x 16 x 2 (20 x 19 / 2) + 20 x 19 x 18 = 20 x 1254 = 25080

Cela montre qu'on peut arriver au résultat par des chemins variés, certains sont plus courts quand même.

On a compté 25080 le nombre de comités possibles avec président, adjoint et secrétaire ET avec davantage de filles que de garçons.

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