Réponse :
Bonjour
1) (√a - √b)² = (√a)² - 2√a√b + (√b)² = a - 2√ab + b
2) (√a - √b)² ≥ 0 ( car un carré est toujours positif)
⇔ a - 2√ab + b ≥ 0
⇔ -2√ab ≥ -a - b
⇔ √ab ≤ (-a - b)/(-2)
⇔ √ab ≤ [tex]\frac{1}{2}(a+b)[/tex]
3) De la même manière ,on obtient :
√ac ≤ [tex]\frac{1}{2}(a+c)\\[/tex]
et √bc ≤ [tex]\frac{1}{2}(b+c)[/tex]
donc √ab + √ac + √bc ≤ [tex]\frac{1}{2}(a+b) + \frac{1}{2}(a+c) + \frac{1}{2}(b+c)\\[/tex]
⇔ √ab + √ac + √bc ≤ [tex]\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c[/tex]
⇔ √ab + √ac + √bc ≤ a + b + c
4) √6 + √8 + √12 = √(2×3) + √(2×4) + √(3×4)
D'après le 3), avec a = 2 , b = 3 et c = 4
on a √(2×3) + √(2×4) + √(3×4) ≤ 2 + 3 + 4
⇔ √6 + √8 + √12 ≤ 9
