Bonjour,
1)
Initialisation
Pour n = 1, cela fait
pour le membre de gauche
[tex](2 \times 1 )^2=4[/tex]
pour l'expression de droite
[tex]\dfrac{2\times 1 \times 2 \times 3}{3}=4[/tex]
Donc c'est vrai au rang 1
Hérédité
Supposons que cela soit vrai au rang n
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} (2k)^2=\sum_{k=1}^{n} (2k)^2+(2n+2)^2=\dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}+4(n+1)^2\\\\=\dfrac{2(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{3}\\\\=\dfrac{2(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{3}\\\\=\dfrac{2(n+1)(2n+3)(n+2)}{3}\\\\=\dfrac{2(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}{3}[/tex]
C est donc vrai au rang n+1
Conclusion
C'est vrai pour tout n entier différent de 0
2)
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{10} (2k)^2=2^2+4^2+6^2+8^2+10^2+12^2+14^2+16^2+18^2+20^2\\\\=\dfrac{2\times 10 \times 11 \times 21 }{3}=1540[/tex]
3)
[tex]u_0=0\\\\u_1=1\\\\u_2=1+8=9\\\\u_3=1+8+27=36[/tex]
Ce sont des carrés parfaits.
4)
Initialisation
pour n =0 cela fait 0 = 0 donc c'est vrai au rang 0
Hérédité
Supposons que cela soit vrai au rang k
Par hypothèse de récurrence
[tex]\displaystyle u_k=\sum_{p=0}^{k} p^3 = \dfrac{k^2(k+1)^2}{4}[/tex]
Nous pouvons écrire que
[tex]\displaystyle u_{k+1}=\sum_{p=0}^{k+1} p^3 = u_k+(k+1)^3\\\\=\dfrac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}\\\\=\dfrac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}\\\\=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/tex]
C'est donc vrai au rang k+1
Conclusion
Donc c'est vrai pour tout n entier
5)
[tex]\displaystyle u_n=\sum_{p=0}^{n} p^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}\\\\\boxed{=(\dfrac{n(n+1)}{2})^2}\\\\=(\sum_{p=0}^{n} p)^2[/tex]
la dernière expression n'est pas demandé dans cet exercice.
Merci
