Réponse :
Bonjour
1) 2¹⁰ - 1 = 2⁵ˣ² - 1 = (2⁵)² - 1² = (2⁵ + 1)(2⁵ - 1)
2¹⁰ - 1 est donc divisible par 2⁵ + 1 et par 2⁵ - 1 , en plus d'être divisible par lui même et par 1. Il n'est donc pas premier
2) étudions 2 cas , en fonction de la parité de n
- si n est pair ,on peut l'écrire sous la forme n = 2k ( avec k entier)
On a donc n² - n - 2 = (2k)² - 2k - 2 = 4k² - 2k - 2 = 2(2k² - 2 - 1)
donc si n est pair , n² - n - 2 est pair également
- si n est impair, on peut l'écrire sous la forme n = 2k + 1 ( avec k entier)
On a donc n² - n - 2 = (2k+1)² - (2k+1)- 2 = 4k² + 4k + 1 - 2k - 2 = 4k² + 2k - 2
⇔ n² - n - 2 = 2(2k² + k - 1)
donc si n est impair, n² - n - 2 est pair .
Donc quelque soit n >3 , n² - n - 2 n'est pas premier, puisqu'il est pair et donc divisible par 2
3) a) a = 7ⁿ⁺² - 7ⁿ = 7ⁿ(7² - 1) = 48 × 7ⁿ = 3 × 16 × 7ⁿ
donc 3 divise a
b = 3 × 7ⁿ⁺¹ + 5 × 7ⁿ = 7ⁿ(3×7 + 5) = 7ⁿ × 26 = 13 × 2 × 7ⁿ
donc 13 divise b
b) a = 2⁴ × 3 × 7ⁿ
b = 2 × 7ⁿ × 13
c) PGCD(a,b) = 2 ×7ⁿ
PPCM(a,b) = 2⁴ × 3 × 7ⁿ × 13
4) étudions la parité de 4n + 7
si n est pair, n = 2k avec k entier
4n + 7 = 8k + 7 = 2(4k + 3) + 1
4n + 7 est donc impair lorsque n est pair
si n est impair , n = 2k + 1 avec k entier
4n + 7 = 4(2k + 1) + 7 = 8k + 4 + 7 = 8k + 11 = 2(4k + 5) + 1
4n + 7 est donc impair si n est impair
donc quelque soit n , 4n + 7 est impair
donc (-1)⁴ⁿ⁺⁷ = -1
étudions la parité de n² + 3n + 8
si n est pair, n = 2k avec k entier
n² + 3n + 8 = (2k)² + 2(2k) + 8 = 4k² + 4k + 8 = 2(2k² + 2k + 4)
donc si n est pair, n² + 3n + 8 est pair
si n est impair, n = 2k + 1 , avec k entier
n² + 3n + 8 = (2k+1)² + 3(2k+1) +8 = 4k² +4k +1 + 6k + 3 + 8 = 4k² + 10k + 12
= 2(2k² + 5k + 6)
donc si n est impair, n² + 3n + 8 est pair
donc quelque soit n , n² + 3n + 8 est pair
donc (-1)ⁿ²⁺³ⁿ⁺⁸ = 1
Donc B = (6n - 1)(-1) + 2(5 + 3n) × 1 = -6n + 1 + 10 + 6n = 11
