Bonjour,
1) On peut conjecturer que [tex](u_n)[/tex] est décroissante et converge vers 0.
2) Montrons par récurrence sur [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] la propriété H(n): "[tex]u_n \ge 0[/tex]."
Initialisation : n=0
H(0) est vraie car [tex]u_0=1 \ge 0[/tex].
Hérédité : Soit n un entier naturel tel que H(n) soit vraie, et montrons H(n+1).
On a : [tex]u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}[/tex] et, par HR, [tex]u_n \ge 0[/tex] donc [tex]u_n+8 \ge 0[/tex].
Ainsi, [tex]u_{n+1} \ge 0[/tex], d'où H(n+1).
Conclusion : Par principe de récurrence, pour tout entier naturel n, H(n) est vraie. Autremement dit, pour tout entier naturel n : [tex]u_n \ge 0[/tex].
3) a) Montrons d'abord que [tex](u_n)[/tex] est bien décroissante.
Comme tu l'as dit, on peut étudier le signe de [tex]u_{n+1}-u_n[/tex] :
[tex]u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n}{u_n+8}-u_n=\dfrac{-u_n^2-7u_n}{u_n+8}=\underset{\le0}{\underbrace{-u_n}}\times \dfrac{u_n+7}{u_n+8}\le0[/tex]
donc [tex]u_n+1-u_n\le0 \iff u_{n+1} \le u_n[/tex]
d'où : [tex](u_n)[/tex] est décroissante.
Rq : Il aurait été plus simple ici d'étudier [tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_n}[/tex] (on montre d'abord [tex]u_n\not =0[/tex] en adaptant la récurrence de la question 2)):
[tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{u_n+8} <1[/tex] car [tex]u_n \ge 0[/tex] donc [tex]u_n+8 >1[/tex], d'où : [tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_n} <1 \underset{u_n\ge 0}{\underbrace{\iff} }u_{n+1}<u_n[/tex].
b) [tex](u_n)[/tex] est décroissante et minorée (par 0), donc converge vers une limite [tex]l[/tex] telle que [tex]0 \le l[/tex].
En passant à la limite dans [tex]u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}[/tex], on obtient :
[tex]l=\dfrac{l}{l+8} \iff l=0 \text{ ou } l=-7[/tex].
Comme [tex]l=-7[/tex] est exclu car [tex]l \ge 0[/tex], [tex]\boxed{l=0}[/tex].
