Bonjour
[tex](a+b+c)^3=(a+b+c)^2(a+b+c)=((a+b)^2+c^2+2(a+b)c)(a+b+c)\\\\=(a^2+b^2+2ab+c^2+2ac+2bc)(a+b+c)\\\\=(a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc))(a+b+c)\\\\=a^3+b^3+c^3+a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+2(ab+bc+ac)(a+b+c)\\\\=a^3+b^3+c^3+3a^2(b+c)+3b^2(a+c)+3c^2(a+b)+6abc\\ \\[/tex]
Et donc
[tex]0=a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)^3-[3a^2(b+c)+3b^2(a+c)+3c^2(a+b)+9abc]\\\\=(a+b+c)^2-[3a^2(b+c)+3b^2(a+c)+3c^2(a+b)+3abc+3abc+3abc]\\ \\=(a+b+c)^2-[3ab(a+b+c)+3bc(a+b+c)+3ac(a+b+c)]\\ \\=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ab-3bc-3ac)\\ \\=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\\ \\=(a+b+c)\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}[/tex]
Comme a+b+c est différent de 0 cela veut dire que la somme des trois carrés doit être 0 et cela arrive pour (a-b)=0 et (b-c)=0 et (c-a)=0 donc a = b, b = c et c = a
Le triangle est donc équilatéral.
Merci
