Bonjour,
Supposons que 2x+4y=1
<=> 2x=1-4y
[tex]<=> x=\dfrac{1-4y}{2}[/tex]
Et ainsi
[tex]x^2+y^2=\dfrac{(1-4y)^2}{4}+\dfrac{4y^2}{4}=\dfrac{20y^2-8y+1}{4}[/tex]
Que pouvons-nous dire de [tex]20y^2-8y+1[/tex] ?
[tex]20y^2-8y+1=20(y^2-\dfrac{8}{20}y)+1\\\\=20(y-\dfrac{1}{5})^2-\dfrac{20}{25}+1\\\\=20(y-\dfrac{1}{5})^2+\dfrac{25-20}{25}\\\\=20(y-\dfrac{1}{5})^2+\dfrac{5}{25}\\\\=20(y-\dfrac{1}{5})^2+\dfrac{1}{5}[/tex]
Et comme un carré est toujours positif
[tex]20y^2-8y+1\geq \dfrac{1}{5}[/tex]
et donc
[tex]x^2+y^2\geq \dfrac{1}{4\times 5} =\dfrac{1}{20}\\ \\<=> \dfrac{1}{x^2+y^2}\leq 20[/tex]
Merci
