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Réponse :
Montrons par récurrence que la proposition Pn "3^(2n+1) + 2^(n+2) est un multiple de 7" est vraie.
Initialisation :
Pour n=0, 3^(2*0+1) + 2^(0+2) = 3 + 4 = 7
Donc P₀ est vraie.
Hérédité :
Supposons que Pn est vraie pour un certain n fixé quelconque, montrons qu'alors Pₙ₊₁ est vraie, ie Pₙ₊₁ = 3^(2n+3) + 2^(n+3).
Or :
Pₙ₊₁ = 3^(2n+3) + 2^(n+3)
Pₙ₊₁ = 3^(2n+1)*3² + 2^(n+2)*2
Pₙ₊₁ = 9*3^(2n+1) + 2*2^(n+2)
Pₙ₊₁ = [7*3^(2n+1) + 2*3^(2n+1)] + 2*2^(n+2)
Pₙ₊₁ = 7*3^(2n+1) + 2*[3^(2n+1) + 2^(n+2)]
Pₙ₊₁ = 7*3^(2n+1) + 2*[Pₙ] Par HR
3^(2n+1) et Pn sont un multiple de 7
La proposition est héréditaire.
Conclusion :
D'après le principe de récurrence, 3^(2n+1) + 2^(n+2) est un multiple de 7.
