Bonjour,
1. Dire que [tex]z_0[/tex] est une racine de P, revient à dire que [tex]P(z_0)=0[/tex]
Faisons le calcul!
[tex]P(z_0)=(i\sqrt{2})^3-(2+i\sqrt{2})(i\sqrt{2})^2+2(1+i\sqrt{2})i\sqrt{2}-2i\sqrt{2} \\\\=-2i\sqrt{2}+4+2i\sqrt{2}+2i\sqrt{2}-4-2i\sqrt{2}\\\\=0[/tex]
Donc [tex]z_0[/tex] est bien racine de P
2.
Comme [tex]z_0[/tex] est une racine de P, nous pouvons factoriser par [tex](z-z_0)[/tex]
[tex](z-i\sqrt{2})(z^2+az+b)=z^3+(a-i\sqrt{2})z^2+(b-ia\sqrt{2})z-bi\sqrt{2}[/tex]
Nous pouvons identifier les termes:
[tex]a-i\sqrt{2} = -(2+i\sqrt{2})\\ \\b-ia\sqrt{2}=2(1+i\sqrt{2})\\ \\bi\sqrt{2}=2i\sqrt{2}[/tex]
Donc b = 2 et a=-2
Ainsi,
[tex]P(x)=(z-i\sqrt{2})(z^2-2z+2)[/tex]
b)
[tex]\Delta=2^2-4*2=-4=(2i)^2\\ \\z_1=\dfrac{2+2i}{2}=1+i\\ \\z_2=1-i[/tex]
Nous avons donc toutes les solutions de P(z)=0 qui sont
[tex]z_0, z_1, z_2[/tex]
Merci
