Bonjour,
Cet exercice est une introduction aux suites dites adjacentes.
Deux suites [tex](u_n)[/tex] et [tex](v_n)[/tex] sont dites adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante (question 2)), et la différence tend vers 0 (question 1)b)).
Un théorème général dit que deux suites ajacentes convergent vers la même limite, et on le montre dans ce cas particulier (question 4)c)).
1)a) Pour montrer que [tex](w_n)[/tex] est géométrique, on exprime [tex]w_{n+1}[/tex] en fonction de [tex]w_n[/tex], pour tout n.
Soit donc [tex]n \ge 1[/tex].
[tex]w_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{u_n+3v_n}{4}-\frac{u_n+2v_n}{3}=\frac{1}{12}(v_n-u_n)=\frac{1}{12}w_n[/tex].
Ainsi, [tex](w_n)[/tex] est géométrique de raison 1/12.
b) Classique :
[tex]w_1=w_1\\w_2=\frac{1}{12}w_1\\w_3=\left(\frac{1}{12}\right)^2w_1\\\cdots\\w_n=\left(\frac{1}{12}\right)^{n-1}w_1 \Rightarrow \boxed{w_n=-11\left(\frac{1}{12}\right)^{n-1}}[/tex] pour tout [tex]n \ge 1[/tex].
c) On utilise la question précédente : [tex]\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{12}\right)^{n-1}}=0[/tex] donc
[tex]\boxed{ \lim_{n \to \infty} w_n=0}[/tex].
2) On étudie le signe de [tex]u_{n+1}-u_n[/tex], pour n>0:
[tex]u_{n+1}-u_n=\frac{2}{3}w_n \le0[/tex] puisque, par la formule de la 1)b), [tex]w_n[/tex] est négatif.
Ainsi, [tex]u_{n+1} \le u_n[/tex] donc [tex]\boxed{(u_n) \text{ est d\'ecroissante.}}[/tex]
De même, pour n>0 :
[tex]v_{n+1}-v_n=\frac{-1}{4}w_n\ge0[/tex] donc [tex]\boxed{(v_n) \text{ est croissante.}}[/tex]
3) On a, pour n>0 :
[tex]u_n-v_n=\frac{-1}{3}w_n \ge 0[/tex], donc [tex]\boxed{u_n \ge v_n}[/tex].
[tex](u_n)[/tex] est décroissante, donc [tex]u_1 \ge u_n[/tex], pour n>0.
Et [tex](v_n)[/tex] est croissante, donc [tex]v_n \ge v_1[/tex], pour n>0.
Ainsi, pour n>0 : [tex]\boxed{u_1 \ge u_n \ge v_n \ge v_1}[/tex].
4)a) On calcule [tex]t_{n+1}[/tex] pour n>0 :
[tex]t_{n+1}=3u_{n+1}+8v_{n+1}=(u_n+2v_n)+(2u_n+6v_n)=3u_n+8v_n=t_n[/tex]
donc [tex]\boxed{(t_n) \text{ est constante.}}[/tex]
b) On a : [tex]v_n=w_n+u_n=-11\left(\frac{1}{12}\right)^{n-1}+u_n[/tex] et [tex]t_n=t_1=44=3u_n+8v_n=3u_n-88\left(\frac{1}{12}\right)^{n-1}+8u_n[/tex]
d'où : [tex]\boxed{u_n=4+8\left(\frac{1}{12}\right)^{n-1}}[/tex]
puis : [tex]\boxed{v_n=4-3\left(\frac{1}{12}\right)^{n-1}}[/tex].
c) Les suites convergent bient toutes les deux vers 4.
