Réponse :
U0 = 0 et Un+1 = √(2Un + 6)
1) a) calculer U1 ; U2 et U3
U1 = √(2U0+6) = √6 ≈ 2.5
U2 = √(2U1+6) = √(2*2.5 + 6) = √11 ≈ 3.3
U3 = √(2U2+6) = √(2*3.3 + 6) = √(12.6) ≈ 3.6
b) quelle conjecture sur le sens de variation de la suite (Un) pouvez-vous émettre ?
U1 - U0 = 2.5 - 0 = 2.5 > 0
U2 - U1 = 3.3 - 2.5 = 0.8 > 0
U3 - U2 = 3.6 - 3.3 = 0.3 > 0
Donc Un+1 - Un ≥ 0 , la suite (Un) est croissante sur N
2) Montrer que pour tout n , 0 ≤ Un ≤ 4
Initialisation : vérifions que pour n = 0 P(0) est vraie U0 = 0
0 ≤ 0 ≤ 4 donc 0 ≤ U0 ≤ 4 donc P(0) est vraie
hérédité : on note P(n) : 0 ≤ Un ≤ 4
supposons que pour tout n ∈ N, P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie
par hypothèse 0 ≤ Un ≤ 4 ⇔ 0 ≤ 2Un ≤ 8 ⇔ 6 ≤ 2Un + 6 ≤ 14
⇔ √6 ≤ √(2Un + 6) ≤ √14 or √(2Un + 6) ≥ 0 et √(2Un + 6) ≤ √14 ≤ 4
donc 0 ≤ Un+1 ≤ 4
Conclusion : comme P(0) est vraie et P(n) est héréditaire donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n
3) Montrer que (Un) est croissante
Un+1/Un = √(2Un + 6)/Un or √ (2Un + 6) ≥ 0 et Un ≥ 0
donc Un+1/Un ≥ 0 donc (Un) est croissante sur N
4) justifier que la suite (Un) est convergente
(Un) est croissante et Un ≤ 4 majorée donc (Un) est convergente
Explications étape par étape