Bonjour,
1. Tout d'abord, f est dérivable sur son domaine de définition comme composée de fonctions qui le sont, et
[tex]\forall x \in \mathbb{R}^+\\ \\f'(x)=10u'(x)e^{u(x)}[/tex]
Or
[tex]\forall x \in \mathbb{R}^+\\ \\u'(x)=(-\dfrac{1}{10})\times u(x)[/tex]
donc
[tex]10u'(x)=-u(x)[/tex] et
[tex]f'(x)=-u(x)e^{u(x)}[/tex]
Nous savons que
[tex]( \forall x \in \mathbb{R} ) \ e^x >0[/tex]
donc f'(x) > 0 donc f est strictement croissante sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex]
2. u(x) tend vers 0 quand x tend vers [tex]+\infty[/tex]
donc l'exponentiel de u(x) tend vers 1
donc f(x) tends vers 10 quand x tend vers [tex]+\infty[/tex]
3. f' est dérivable sur son ensemble de définition comme composée de fonctions qui le sont et
[tex]\forall x \in \mathbb{R}^+\\ \\f''(x)=-u'(x)e^{u(x)}-u(x)u'(x)e^{u(x)}\\ \\=\left( +\dfrac{1}{10}u(x)+\dfrac{1}{10}u^2(x)\right)e^{u(x)}\\ \\=\dfrac{1}{10}u(x)e^{u(x)}(1+u(x))[/tex]
b.
[tex]1+u(x)=0<=>1-e^{2-x/10}=0<=>e^{2-x/10}=1\\\\<=>2-x/10=0\\\\<=>x=20[/tex]
donc f''(x) est positif de 0 à 20 et négatif ensuite
donc f' est croissante de 0 à 20 et décroissante ensuite.
c.
f' admet son maximum en x = 20
Donc la vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale au bout de 20 jours.
Merci
