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Bonjour,
Nous avons la suite (un) définie comme
[tex]\begin{cases}u_0 &=1\\ u_{n+1} &=u_n+\dfrac{4n+7}{3} \text{ pour n } \geq 0\end{cases}[/tex]
Et nous voulons montrer que pour tout n
[tex]u_n=\dfrac{(n+1)(2n+3)}{3}[/tex]
Etape 1 - initialisation
Prenons n = 0
[tex]u_0=1\\ \\\dfrac{(0+1)(2*0+3)}{3}=\dfrac{3}{3}=1[/tex]
C'est donc vrai au rang n = 0
Etape 2 - Hérédité
Supposons que cela soit vrai au rang k, i.e. [tex]u_k=\dfrac{(k+1)(2k+3)}{3}[/tex]
Et montrons que cela reste vrai au rang k+1, à savoir
[tex]u_{k+1}=\dfrac{(k+1+1)(2(k+1)+3)}{3}=\dfrac{(k+2)(2k+5)}{3}=\dfrac{2k^2+9k+10}{3}[/tex]
Allons-y!
[tex]u_{k+1}=u_k+\dfrac{4k+7}{3}=\dfrac{(k+1)(2k+3)+4k+7}{3}[/tex]
par hypothèse de récurrence
et
[tex]u_{k+1}=\dfrac{(k+1)(2k+3)+4k+7}{3}\\\\=\dfrac{2k^2+5k+3+4k+7}{3}\\\\=\dfrac{2k^2+9k+10}{3}[/tex]
Nous venons donc de démontrer que cela reste vrai au rang k+1
Etape 3 - conclusion
Nous venons de démontrer par récurrence que pour tout n entier
[tex]u_n=\dfrac{(n+1)(2n+3)}{3}[/tex]
Merci
