Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
1. voir la figure ci dessous
2. Par définition
[tex]z_1-z_2[/tex] est l'affixe du vecteur BA
[tex]z_3-z_2[/tex] est l'affixe du vecteur CA
Donc nous avons:
[tex]|Z|=\dfrac{BA}{CA}\\ \\Arg(Z)=Arg(z_1-z_2)-Arg(z_3-z_2)=angle(BA, BC)[/tex]
[tex]Z=\dfrac{2i+\sqrt{3}-i}{-\sqrt{3}-i+\sqrt{3}-i}\\\\=\dfrac{i+\sqrt{3}}{-2i}\\\\=\dfrac{i(i+\sqrt{3})}{-2i^2}\\ \\=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}[/tex]
[tex]Z^2=\dfrac{1-3-2\sqrt{3}i}{4}=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}=\overline Z\\\\Z^3=Z\times \overline Z=\dfrac{1-3i^2}{4}=1[/tex]
ce sont les racines 3ieme de l unité.
Donc l'argument de Z est 2pi sur 3 ou 120 degrés.
4. c'est déjà fait, ça fait 1
5. BA=BC c'est un triangle isocèle
6.
[tex]z_1-z_3[/tex] est l'affixe du vecteur CA
[tex]z_4-z_3[/tex] est l'affixe du vecteur CD
Donc nous avons:
[tex]|Z|=\dfrac{CA}{CD}\\ \\Arg(Z)=Arg(z_1-z_3)-Arg(z_4-z_3)=angle(CA, CD)[/tex]
[tex]T=\dfrac{2i+\sqrt{3}+i}{-\sqrt{3}-3+\sqrt{3}i-i+\sqrt{3}+i}\\\\=\dfrac{\sqrt{3}+3i}{-3+\sqrt{3}i}\\\\=\dfrac{(\sqrt{3}+3i)(-3-\sqrt{3}i)}{(-3+\sqrt{3}i)(-3-\sqrt{3}i)}\\ \\=\dfrac{-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-9i-3i}{9+3}\\\\=-i \\ \\T^2=-1\\ \\T^3=i \\ \\T^4=i\times (-i)=-(-1)=1[/tex]
[tex]T\times \overline T=(-i)\times i=1[/tex]
Ce sont les racines 4ieme de l'unité
Donc le triangle ACD est rectangle en C
et CA=CD donc il est isocèle
Merci
