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ABCD est un carré, les côtés AB et DC sont parallèles
1)
Les droites sécantes DI et AC coupées par les parallèles AB et DC
déterminent des triangles AEI et DEC homothétiques
A E I
C E D
les rapports de côtés homologues sont égaux
EA / EC = AI / CD (1)
2)
I est le milieu de AB et AB = CD : AI/CD = 1/2
d'après (1)
EA/EC = 1/2
EC = 2EA
comme AC = AE + EC
AC = AE + 2AE
AC = 3AE
AE = 1/3 AC
3)
la droite passant par E et perpendiculaire aux côtés AB et DC
coupe AB en H et DC en H'
dans l'homothétie de centre E et de rapport 1/2
la hauteur EH' du triangle DEC a pour image la hauteur EH du triangle AEI
EH = 1/2 EH'
2EH = EH'
2EH = HH' - EH
3EH = HH' (la mesure d'un côté est 3 cm)
3EH = 3
EH = 1 (cm)
aire AEI =
base (AI) x hauteur (EH) / 2
( 1,5 x 1 ) /2
0,75 (cm²)
