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Bonjour,
Nous allons démontrer par récurrence que pour tout n entier
[tex]v_n=\dfrac{n}{n+1}[/tex]
Etape 1 - initialisation
[tex]v_0=0=\dfrac{0}{0+1}[/tex]
C'est vrai pour n = 0
Etape 2 - Supposons que ce soit vrai pour le rang k, c'est-à-dire
[tex]v_k=\dfrac{k}{k+1}[/tex]
Nous pouvons utiliser l'hypothèse de récurrence et écrire
[tex]v_{k+1}=\dfrac{1}{2-v_k}=\dfrac{1}{2-\dfrac{k}{k+1}}=\dfrac{k+1}{2k+2-k}\\\\=\dfrac{k+1}{k+2}[/tex]
C'est donc vrai au rang k+1
Etape 3 - Conclusion
Nous venons de démontrer que, pour tout n entier
[tex]v_n=\dfrac{n}{n+1}[/tex]
4)
[tex]\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{1+1/n}[/tex]
ça tend vers 1 quand n tend vers + l infini
Merci
