Bonsoir,
Il faut reconnaître une somme géométrique.
Soit [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] fixé.
Il s'agit en fait de reconnaître la somme des 4 premiers termes de la suite [tex](u_n)_{n \in \mathbb{N}}[/tex] définie par [tex]u_0=1[/tex] et [tex]u_{n+1}=xu_n[/tex] pour [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
Ainsi : [tex]x^3+x^2+x+1=\frac{1-x^4}{1-x}[/tex], si [tex]x \not =1[/tex].
Rq : Il est important d'exclure le cas x=1, même si, ici, x=1 n'est pas une solution de l'équation.
L'équation revient alors à :
[tex]\frac{1-x^4}{1-x}=0 \Rightarrow 1-x^4=0 \Rightarrow x^4=1 \Rightarrow x=\pm1[/tex]
et on a déjà exclu x=1.
Ainsi, [tex]\boxed{\text{l'unique solution r\'eelle de cette \'equation est $x=-1$.}}[/tex]
