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Bonjour,
Il faut séparer la somme en deux pour faire apparaître des sommes géométriques :
[tex]S=(1-2+4-8+\cdots-512+1024)+(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{512}+\frac{1}{1024})[/tex]
puis : [tex]S=(2^0-2^1+2^2-2^3+\cdots-2^9+2^{10})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{2^{10}})[/tex]
soit, avec des sigmas :
[tex]S=\left(\sum_{k=0}^{10} (-2)^k\right)+\left(\sum_{k=1}^{10} 2^{-k}\right)[/tex].
On calcule ensuite chacune des sommes :
[tex]\sum_{k=0}^{10} (-2)^k=\frac{1-(-2)^{11}}{1-(-2)}=\frac{2049}{3}=683[/tex]
[tex]\sum_{k=1}^{10} 2^{-k}=\frac{1}{2}\times \frac{1-\frac{1}{2^{10}^}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{1024}=\frac{1023}{1024}[/tex].
Ainsi : [tex]\boxed{S=684-\frac{1}{1024}}[/tex].
