Bonjour,
1) Il s'agit de considérer le discriminant. On sait que si [tex]\Delta>0[/tex], l'équation admet deux solutions distinctes.
Or : [tex]\Delta=b^2-4ac[/tex]
et [tex]b^2\ge0[/tex] (un carré est toujours positif) et [tex]-4ac >0[/tex] car [tex]ac<0[/tex].
Ainsi, [tex]b^2-4ac=\Delta>0[/tex]
donc l'équation admet deux solutions distinctes.
La réciproque est fausse.
Voici un contre-exemple : [tex]x^2+8x+1=0[/tex] qui admet deux solutions distinctes (car [tex]\Delta=60[/tex]), mais telle que [tex]ac=1>0[/tex].
2) On sait que les solutions sont alors :
[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex].
Or, [tex]\sqrt{b^2-4ac}>|b|[/tex] car [tex]b^2-4ac>b^2[/tex] puisque [tex]ac<0[/tex].
Les deux numérateurs sont alors de signes opposés, car
[tex]-b+\sqrt{b^2-4ac}>0[/tex] et [tex]-b-\sqrt{b^2-4ac}<0[/tex].
Donc les deux solutions sont de signes opposés.
3)a) On a : [tex]ac=-2,7 \times 0,78<0[/tex] donc, par 1), l'équation admet deux solutions distinctes, qui sont de signes opposés.
b) Ici, [tex]ac=-5,8<0[/tex] donc l'équation admet encore une fois deux solutions distinctes, toujours de signes opposés.
