Bonjour,
1) [tex]L=\{2;3;5\}[/tex]
a) Le produit de ces nombres augmenté de 1 vaut : [tex]2\times3\times5+1=31[/tex].
b) On obtient bien un nombre premier : 31, qui n'était pas dans la liste L.
-> A partir de 3 nombres premiers, on en a construit un 4e.
2) [tex]L=\{2;3;5;7;\cdots;P\}[/tex]
a) [tex]n=2 \times3\times5\times7\times\cdots\times P+1[/tex]
n est entier comme produit et somme d'entiers (tous les nombres qui forment n sont des entiers).
b) Tu as vu dans le cours que tout entier [tex]\ge 2[/tex] admet un diviseur premier.
Or [tex]n \ge 2[/tex] (puisqu'il s'écrit [tex]2\times \cdots +1[/tex]) et est entier par la question précédente.
Ainsi, n admet un diviseur premier, noté q.
c) q est un nombre premier.
Or, L est une liste qui contient tous les nombres premiers (hypothèse du raisonnement par l'absurde).
Ainsi, q apparaît dans L.
Ainsi, q apparaît comme facteur dans le produit de tous les éléments de L : [tex]2 \times 3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times P=n-1[/tex].
q divise donc ce produit, càd que q divise n-1.
d) Par la question b), q divise n.
Par la question c), q divise n-1.
Par combinaison linéaire, q divise n-(n-1)=1, donc q divise 1.
e) q est un nombre premier, donc est [tex]\ge 2[/tex]. Il ne peut donc pas diviser 1 : c'est absurde.
On a abouti à une contradiction, donc l'hyposthèse de départ selon laquelle il existe un nombre fini de nombres premiers est fausse.
Ainsi, l'ensemble des nombres premiers est infini.
