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Bonjour,
4)a) Soit [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex].
On remplace simplement [tex]u_k[/tex] dans l'expression de [tex]S_n[/tex] :
[tex]S_n=\sum_{k=0}^n u_k=\sum_{k=0}^n \left(2\left(\frac{2}{3}\right)^k+k\right)=2\sum_{k=0}^n\left(\frac{2}{3}\right)^k+\sum_{k=0}^n k[/tex]
donc : [tex]S_n=2\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{2}{3}}+\frac{n(n+1)}{2}=6\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right)+\frac{n(n+1)}{2}=-6\times \frac{2}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+6+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}[/tex]
d'où : [tex]\boxed{S_n=-4\left(\frac{2}{3}\right)^n+\frac{n(n+1)}{2}+6.}[/tex]
b) [tex]T_n=\frac{S_n}{n^2}=\frac{-4}{n^2}\left(\frac{2}{3}^\right)^n+\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}+\frac{6}{n^2}[/tex] donc [tex]\boxed{\lim_{n \to \infty} T_n =\frac{1}{2}}[/tex]
car [tex]\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n =0[/tex] car [tex]\left|\frac{2}{3}\right|<1[/tex].
Voilà. N'hésite pas à demander des précisions.
