Bonsoir,
1) On suppose que 1/3 est un nombre décimal. Ainsi, par définition, il existe [tex]a \in \mathbb{Z}[/tex] et [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] tels que [tex]\frac{1}{3}=\frac{a}{10^n} \iff \boxed{10^n=3a}[/tex].
2) On commence par décomposer 10 en facteurs premiers : [tex]10=2 \times 5[/tex].
Ainsi : [tex]\boxed{10^n=2^n\times 5^n}\\[/tex].
3) On note [tex]a=p_1^{n_1} \times \cdots \times p_m^{n_m}[/tex] où les [tex]p_i[/tex] sont premiers et les [tex]n_i>0[/tex] (i=1 à m).
On a alors : [tex]10^n=3a \iff 2^n\times 5^n=3\times p_i^{n_1} \times \cdots \times p_m^{n_m}[/tex].
C'est absurde par unicité de la décomposition en facteurs premiers car il y a un 3 d'un côté mais pas de l'autre.
Ainsi, 1/3 n'est pas un nombre décimal.
Rq : L'ensemble des nombres décimaux est en fait l'ensemble des nombres qui peuvent s’écrire exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule, ce qui n'est pas le cas de 1/3.
Rq : Plus simplement, une fois qu'on a écrit [tex]10^n=3a[/tex], on peut remarquer que le membre de droite est divisible par 3 mais pas celui de gauche, pour aboutir à une contradiction.
