Bonjour !
n -> entier naturel.
1. Montrer que le nombre n^2 - 3n + 4 est pair.
n² - 3n + 4 = n(n - 3) + 4
4 est pair.
Si n est pair, alors n-3 est impair.
Si n est impair, alors n - 3 est pair.
Donc n(n - 3) est forcément pair.
Donc n(n - 3) + 4 est forcément pair.
2. Montrer que 4 divise n^4 - n^2 + 16.
n⁴ - n² + 16 = n²(n² - 1) + 16
Si n pair, donc n = 2k :
n²(n² - 1) + 16 = (2k)² * ((2k)² - 1) + 16 = 4k² * ((2k)² - 1) + 16 =
4 * ( k² * ((2k)² - 1) ) + 4² = 4 * ( k² * ((2k)² - 1) + 4)
Donc l'expression se divise part 4.
Si n impair, donc n = 2k + 1 :
n²(n² - 1) + 16 = (2k-1)² * ((2k-1)² - 1) + 16 = (2k-1)² * (4k² - 4k) + 16 =
4(k² - k) * (2k-1)²+ 16 = 4(k² - k) * (2k-1)²+ 4² = 4 * ((k² - k) * (2k-1)²+ 4)
Donc l'expression se divise par 4.
Voilà !
