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bonjour je me suis bloquée à l'exo 3 pourriez vous m'aider ?

On cherche à démontrer dans cet exercice qu'il existe une infinité de nombre premier.
Pour cela, on raisonne par l'absurde et on suppose qu'il en existe n, n étant un premier naturel inconnu. On appelle alors p1, p2, ... pn les n nombres premiers classés dans l'ordre croissant.

1. Quelle est la valeur de p1, p2 et p3 ?
2.Prposerune valeur minimale de n.
3. On considère le nombre N= p1 * p2 *... * pn +1.
a. Montrer que N n'est pas divisible par p1.
b. N peut-il être divisible par un des nombres premiers pi ?
c. Que peut-on alors dire de N ?
d. Conclure.

Sagot :

Hasyata

Bonjour !

1. Quelle est la valeur de p1, p2 et p3 ?

p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5.

2.Proposer une valeur minimale de n.

Bah 3, du coup.

3. On considère le nombre N= p1 * p2 *... * pn +1.

a. Montrer que N n'est pas divisible par p1.

N= p1 * p2 *... * pn +1

<=> N = 2 * p2 *... * pn +1

<=> N = 2 * ( p2 *... * pn ) + 1. On remarque la forme de l'écriture littérale d'un nombre impair. Sachant que p1 = 2 et que les nombres impairs ne se divisent pas par 2, N ne se divise pas par p1.

b. N peut-il être divisible par un des nombres premiers pi ?

Si j'ai bien compris, 2 ≤ i ≤ n c'est ça ?

Raisonnons par l'absurde : disons que N peut se diviser par p_i.

Mettons :

p1 * p2 *... * pn = M

p1 * p2 *... * pn +1 = N.

Notons : N = M+1.

Imaginons que N se divise par p_i. Remarquons que M se divise forcément par p_i (car il l'a dans sa décomposition).

Donc, disons que :

M = p_i * a

N = p_i * b

Avec a et b des entiers naturels. On voit bien que M et N sont multiples de p_i. Mais... N = M+1. Donc :

M = p_i * a, Donc :

N = p_i * b

N = p_i * a + 1

Ainsi :

p_i * a + 1 = p_i * b ( youpi une équation ! )

<=> p_i (a + (1/p_i) ) = p_i( b )

On a factorisé.

<=> a + 1/p_i = b, donc en fait a + 1/p_i est égal à un nombre entier, c'est donc un nombre entier. SAUF QUE :

p_i... Est forcément plus grand ou égal à 2.

Donc la fraction 1 / p_i a un numérateur plus petit que le dénominateur.

En d'autres termes, 1 / p_i < 1. Mais ça reste des nombres positifs, donc :

1 / p_i > 0. Donc : 0 < 1 / p_i < 1.

(1 / p_i) est un nombre décimal.

Et donc a + 1/p_i est un nombre décimal, vu que a est entier, il ne peut pas "compléter" les dixièmes et centièmes de 1/p_i.

Or on a dit que :  a + 1/p_i est  un nombre entier.

On avait donc tord depuis le début ! N ne se divise ni par p_1, ni par p_2, ni par ...ni par p_n.

c. Que peut-on alors dire de N ?

N et le nombre p1 * p2 *... * pn sont donc premiers entre eux. Il n'ont aucun diviseur commun.

d. Conclure.

N n'est divisible par aucun des nombres premiers compris entre p_1 et p_n.

Il est donc divisible par un autre nombre premier, ou est lui même un nombre premier.

Voilà !

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