Bonjour,
1) Je reprends donc simplement l'hérédité :
Par hypothèse de récurrence : [tex]0<u_n<1[/tex], donc [tex]-1<-u_n<0[/tex] puis [tex]0<1-u_n<1[/tex].
On ne peut pas multiplier directement les inégalités, donc on décompose :
a) [tex]1-u_n>0[/tex] donc, en multipliant par [tex]u_n>0[/tex] : [tex]u_n(1-u_n)>0[/tex].
b) [tex]1-u_n<1[/tex] donc, en multipliant par [tex]u_n >0[/tex] : [tex]u_n(1-un_)<u_n<1[/tex], puisqu'on sait par ailleurs [tex]u_n<1[/tex].
On aboutit bien à [tex]0<u_n(1-u_n)<1 \iff \boxed{0<u_{n+1}<1}[/tex]
d'où le résultat par principe de récurrence.
2) On aboutit directement, pour [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], à : [tex]u_{n+1}-u_n=-u_n^2<0[/tex] (un carré est tjrs positif donc son opposé est négatif; et u_n est non nul).
Ainsi : [tex]\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n<0 \iff u_{n+1}<u_n[/tex]
donc la suite est strictement décroissante.
3) [tex](u_n)[/tex] est décroissante et minorée (par 0) donc converge.
Rq : On peut même en trouver la limite. Puisqu'on sait qu'elle converge, notons [tex]l \in \mathbb{R}[/tex] sa limite.
Pour tout entier n : [tex]u_{n+1}=u_n-u_n^2[/tex] donc, en passant à la limite : [tex]l=l-l^2 \iff \boxed{l=0}[/tex].
Voilà ;)
N'hésite pas à demander des précisions.
