Réponse :
1ere methode
1) On pose z = a + ib
z² = (a + ib)²
z² = a² + 2abi + (ib)²
z² = a² + 2abi - b²
z² = (a² - b²) + i(2ab)
et
[tex]z^2=\frac{\sqrt{3}}{4}+i\frac{1}{4} \;\;\;(1)[/tex]
On a donc
[tex]\begin{cases}a^2-b^2=\frac{\sqrt{3} }{4} \\2ab=\frac{1}{4} \\a^2+b^2=\sqrt{(\frac{\sqrt{3} }{4} )^2+(\frac{1}{4} )^2\end{cases} <=> \begin{cases}a^2-b^2=\frac{\sqrt{3} }{4} \\2ab=\frac{1}{4} \\a^2+b^2=\frac{1}{2} \end{cases}[/tex]
En additionnant la 1ere ligne du système avec la troisième ligne on a
[tex]2a^2=\frac{\sqrt{3} }{4} +\frac{1}{2} \\a^2=\frac{2+\sqrt{3}}{8}\\a=-\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{8}} \; ou \; a=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{8}}[/tex]
on peut remarquer que :
[tex]\frac{2+\sqrt{3}}{8}=\frac{4+2\sqrt{3}}{16}=\frac{3}{16} +\frac{2\sqrt{3}}{16} +\frac{1}{16} =(\frac{\sqrt{3} }{4} +\frac{1}{4} )^2[/tex]
d'où
[tex]a= \frac{\sqrt{3}+1 }{4} \:ou\:a=-\frac{\sqrt{3}+1 }{4}[/tex]
D'après la 2e ligne du systeme on a [tex]b=\frac{1}{8a}[/tex]
[tex]b=\frac{1}{8\frac{\sqrt{3}+1 }{4} } =\frac{1}{2(\sqrt{3}+1) } =\frac{1}{2(\sqrt{3}+1) } \times \frac{\sqrt{3}-1 }{\sqrt{3}-1} =\frac{\sqrt{3}-1}{2(\sqrt{3}^2-1^2)} =\frac{\sqrt{3}-1}{4}\\ou\\b=\frac{1}{8(-\frac{\sqrt{3}+1 }{4}) } =-\frac{1}{2(\sqrt{3}+1) } =-\frac{1}{2(\sqrt{3}+1) } \times \frac{\sqrt{3}-1 }{\sqrt{3}-1} =-\frac{\sqrt{3}-1}{2(\sqrt{3}^2-1^2)} =-\frac{\sqrt{3}-1}{4}\\[/tex]
ainsi l'équation (1) admet 2 solutions
[tex]z= \frac{\sqrt{3} +1}{4} +i\frac{\sqrt{3} -1}{4}\\ou\\z= -\frac{\sqrt{3} +1}{4} -i\frac{\sqrt{3} -1}{4}\\[/tex]
2e méthode :
Ecrivons z² sous forme exponentielle
[tex]|z^2|=\sqrt{(\frac{\sqrt{3} }{4})^2+(\frac{1}{4} )^2} =\frac{1}{2} \\\\cos(\phi)=\frac{\frac{\sqrt{3} }{4}}{\frac{1}{2} } \\cos(\phi)= \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\et\\\\sin(\phi)=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{1}{2} } =\frac{1}{2} \\[/tex]
on en deduit que [tex]\phi = \frac{\pi}{6}[/tex]
la forme exponentielle de z² est
[tex]z^2=\frac{1}{2} e^{i\frac{\pi}{6} }[/tex]
On a alors [tex]|z| = \sqrt{|z^2|}=\sqrt{\frac{1}{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]
et
[tex]\theta = \frac{\phi}{2} \:ou\: \theta =\frac{\phi}{2} +\pi\\\\\theta = \frac{\frac{\pi}{6} }{2} \:ou\: \theta =\frac{\frac{\pi}{6} }{2} +\pi\\\\\\\theta = \frac{\pi }{12} \:ou\: \theta =\frac{13\pi}{12} =-\frac{11\pi}{12} [2\pi]\\\\\\[/tex]
L'équation (1) admet donc deux solutions
[tex]z=\frac{\sqrt{2} }{2} e^{i\frac{\pi}{12}} \;ou\; z=\frac{\sqrt{2} }{2} e^{-i\frac{11\pi}{12}}[/tex]
3)
La forme trigonométrique de z se deduit de la forme exponentielle
[tex]z = \frac{\sqrt{2} }{2} [cos(\frac{\pi}{12} )+i\times sin(\frac{\pi}{12} )]\\z = \frac{\sqrt{2} }{2} cos(\frac{\pi}{12} )+i\times \frac{\sqrt{2} }{2} sin(\frac{\pi}{12} )[/tex]
[tex]\frac{\pi}{12} \; appartient \; a \; [0; \; \frac{\pi}{2} ][/tex] donc son sinus et son cosinus sont positifs.
En comparant avec la forme algébrique de z dans laquelle a et b sont positifs on a :
[tex]\frac{\sqrt{2} }{2} cos(\frac{\pi}{12} )= \frac{\sqrt{3}+1 }{4} \\ \frac{\sqrt{2} }{2} sin(\frac{\pi}{12} )= \frac{\sqrt{3}-1 }{4}\\[/tex]
[tex]cos(\frac{\pi}{12} )= \frac{\sqrt{3}+1 }{4} \times \sqrt{2} \\ sin(\frac{\pi}{12} )= \frac{\sqrt{3}-1 }{4}\times \sqrt{2}\\[/tex]
[tex]cos(\frac{\pi}{12} )= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2} }{4} \\ sin(\frac{\pi}{12} )= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2} }{4}\\[/tex]
