Bonjour,
■ Hypothèse de récurrence :
[tex]V_{n} = {2}^{n} + 3n + 4[/tex]
■ Initialisation pour n = 0
[tex]V_{0} = 2 {}^{0} + 3 \times 0 + 4 = 1 + 0 + 4 = 5[/tex]
Donc la propriété est vraie pour n = 0
■ Hérédité : Supposons que pour un rang n donné Pn est vraie. Montrons que le rang n+1 l'est aussi.
[tex]V_{n + 1} = 2V_{n} - 3n - 1[/tex]
[tex]V_{n + 1} = 2(2 {}^{n} + 3n + 4) - 3n - 1[/tex]
[tex]V_{n + 1} = 2 {}^{n + 1} + 6n - 3n + 8 - 1[/tex]
[tex]V_{n + 1} = 2 {}^{n + 1} + 3n + 7[/tex]
■ On utilise maintenant l'hypothèse de récurrence :
[tex]V_{n + 1} = {2}^{n + 1} + 3(n + 1) + 4[/tex]
[tex]V_{n + 1} = {2}^{n + 1} + 3n + 3 + 4[/tex]
[tex]V_{n + 1} = 2 {}^{n + 1} + 3n + 7[/tex]
■ Conclusion : Po est vraie, Pn => Pn+1 la propriété est donc vraie pour tout n
