Réponse :
Lorsque 2 résistances sont montées en séries, l'ensemble est équivalent à une unique résistance de valeur égale à la somme des deux résistances.
Lorsque deux résistances R1 et R2 sont montées en dérivation, l'ensemble est équivalent à une résistance équivalente de valeur Req telle que
[tex]\frac{1}{R_{eq}} =\frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2}[/tex]
Dans le premier schéma on a , pour les résistances en dérivation, un résistance équivalente Req telle que :
[tex]\frac{1}{R_{eq}} =\frac{1}{R} +\frac{1}{3}\\\frac{1}{R_{eq}} =\frac{3}{3R} +\frac{R}{3R}\\\\\frac{1}{R_{eq}} =\frac{3+R}{3R} \\R_{eq}=\frac{3R}{3+R}[/tex]
La resistance globale du circuit est Req + 3
[tex]\\R_{globale}=\frac{3R}{3+R} + 3\\\\R_{globale}=\frac{3R}{3+R} + \frac{9+3R}{3+R}\\\\R_{globale}=\frac{9+6R}{3+R} \\[/tex]
Cette resistance globale doit être egale à la resistance du 2e montage
[tex]\frac{9+6R}{3+R}=R\\\\9+6R = R(3+R)\\9+6R = 3R +R^2\\R^2-3R-9=0[/tex]
On obtient un polynôme du second degré.
Δ=b²-4ac
Δ=(-3)²-4×1×(-9)
Δ=45
Δ>0 donc l'équation R²-3R-9=0 admet 2 solutions réelles;
[tex]x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\x_1=\frac{3- \sqrt{45}}{2} \\x_1=\frac{3-3\sqrt{5}}{2} \\x_1 \approx -1,8\\\\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\x_2=\frac{3+ \sqrt{45}}{2} \\x_2=\frac{3+3\sqrt{5}}{2} \\x_2 \approx 4,9[/tex]
Une résistance étant une gradeur positive, on rejette la solution négative
Les deux circuits sont équivalents pour une resitance R egale à (3+3√5)/2 soit environ 5Ω
