Réponse :
1) a) montrer que (PQ) // (BC)
(PQ) ⊥ (AH) (car APQ est isocèle aussi)
et (BC) ⊥ (AH) donc (PQ) // (BC)
b) en déduire PQ en fonction de x
déterminons tout d'abord BC
ABH triangle rectangle en H, donc d'après le th.Pythagore on a;
AB² = BH²+ AH² ⇔ BH² = AB² - AH² = 10² - 8² = 100 - 64 = 36
d'où BH = √36 = 6 donc BC = 12
d'après le th.Thalès on a; AP/AB = PQ/BC ⇔ x/10 = PQ/12
⇔ PQ = 12/10) x ⇔ PQ = 1.2 x
2) soit I milieu de (PQ)
a) montrer que I ∈ (AH)
(AI) est la médiatrice de (PQ) car AP = AQ
donc (AI) ⊥ (PQ); et les points A ; I et H sont alignés car ^AIH = 90+ 90 = 180° par conséquent I ∈ (AH)
b) calculer AI en fonction de x
AP/AB = AI/AH ⇔ x/10 = AI/8 ⇔ AI = 0.8 x
c) en déduire IH
IH = AH - AI = 8 - 0.8 x
3) résoudre le problème posé
l'aire de ABC : A = 1/2(8 * 12) = 48
l'aire de PQH : A' = 1/2)(1.2 x *(8 - 0.8 x) = 1/2(9.6 x - 0.96 x²)
A = 8 * A' ⇔ 48 = 4*(9.6 x - 0.96 x²) ⇔ 48 = 38.4 x - 3.96 x²
⇔ - 3.96 x² + 38.4 x - 48 = 0
Δ = 1474.56 - 760.32 = 714.24 ⇒ √Δ ≈26.7
x1 = - 38.4 + 26.7)/- 7.92 ≈ 1.5
x2 = - 38.4 - 26.7)/- 7.92 ≈ 8.2
la position du point P et Q est de 1.5 ou 8.2 par rapport au point A
Explications étape par étape
